Метод переменных состояний анализа переходных процессов. Описание системы в переменных состояния

Уравнениями состояния можно назвать любую систему уравнений, определяющих режим цепи. В более узком смысле - это система дифференциальных уравнений первого порядка, разрешенная относительно производных.

Методом переменных состояния назовем анализ цепи, основанный на решении уравнений состояния (первого порядка), записанных в форме Коши. Таким образом, метод переменных состояния - один из методов расчета прежде всего переходных процессов. Далее предполагается, что цепь имеет только независимые источники и не содержит индуктивных сечений и емкостных контуров. В противном случае составление уравнений становится намного сложнее.

Для линейной цепи с постоянными сосредоточенными параметрами ток каждой ветви, напряжение между выбранными выводами, заряд на обкладках конденсатора и т. д. всегда можно найти как решение составленного для этого тока, напряжения, заряда и т. д. дифференциального уравнения (например, исключением других токов и напряжений из системы уравнений Кирхгофа):

Введением переменных это уравнение сводится к эквивалентной системе дифференциальных уравнений первого порядка:

Здесь переменными, которые называются переменными состояния, служат переменная х и ее производные.

Как известно, переходный процесс в любой цепи, кроме ее параметров (значений r, L, С, М) и действующих источников , определяется независимыми начальными (t = 0) условиями - токами в индуктивных элементах и напряжениями на емкостных элементах , которые должны быть известны или рассчитаны. Через них выражаются искомые величины во время переходного процесса. Они же определяют энергетическое состояние цепи. Поэтому в качестве переменных состояния целесообразно выбирать токи и напряжения . Действующие источники можно назвать входными величинами , искомые величины - выходными . Для цепи с n независимыми токами и напряжениями должны быть заданы еще n независимых начальных условий.

Сокращенно дифференциальные уравнения состояния запишем в матричной форме так:

или короче

где X матрица-столбец (размера n x 1) переменных состояния (вектор переменных состояния); F - матрица-столбец (размера m x 1) ЭДС и токов источников (внешних возмущений); А - квадратная матрица порядка n (основная); В - матрица размера п х m (матрица связи). Элементы этих матриц определяются топологией и параметрами цепи.

Для выходных величин (если определяются не токи в индуктивных и напряжения на емкостных элементах) в матричной форме система алгебраических уравнений имеет вид

или короче

где W - матрица-столбец (размера l x 1); M - матрица связи (размера l x n); N - матрица связи (размера l x m).

Элементы матриц зависят от топологии и параметров цепи. Для уравнений состояния разработаны и машинные алгоритмы формирования на основе топологии и значений параметров.

Уравнения в матричной форме (14.91) можно составить, например, с применением метода наложения. Для получения зависимостей между производными переменных состояния, т. е. и переменными состояния , а также ЭДС и токами источников, действующими в цепи, будем считать, что переменные состояния заданы. Рассматриваемую цепь, например на рис. 14.41, а, заменим после коммутации эквивалентной (рис. 14.41,6), у которой каждый заданный ток представлен источником тока , а каждое заданное напряжение - источником напряжения (ЭДС) . Применив метод наложения (положительные направления выбраны), запишем напряжения и токи (сначала учитываем действие источников затем и далее источников, действующих в цепи):

Так как , то

Конечно, уравнения (14.93) можно получить и из уравнений Кирхгофа исключением токов и напряжений ре-зистивных элементов. Однако совместное решение уравнений Кирхгофа с увеличением числа ветвей цепи становится все более громоздким.

Уравнения состояния можно формировать и сразу в матричной форме.

Если источников тока и ЭДС нет, т. е. F = 0, то уравнения (14.91) упрощаются

и характеризуют свободные процессы в цепи. Решение запишем в виде

где X (0) - матрица-столбец начальных значений переменных состояния; - матричная экспоненциальная функция.

Подставив (14.94) в (14.91в), убедимся, что получается тождество.

При решение уравнения (14.91) представим в виде

где Ф(t) - некоторая матричная функция цепи. После дифференцирования (14.95) получим

Сравним (14.96) с (14.91а)

и, умножив на , после интегрирования найдем, что

где q - переменная интегрирования, или

Подставим это выражение в (14.95):

В частности, при t = 0 имеем

Следовательно, решение для переменных состояния записывается в виде

(реакция цепи равна сумме реакций при нулевом входе и при нулевом начальном состоянии).

Это решение можно получить и применив операторный метод расчета переходных процессов, рассматриваемый в разделе .

Выходные величины можно найти по (14.92).

Если состояние цепи задано не при t = 0, а при , то в (14.97) первое слагаемое записывается так: , а нижний предел интеграла не 0, а t.

Главная трудность расчета заключается в вычислении матричной экспоненциальной функции. Один из путей такой: сначала находим собственные значения l матрицы А, т. е. корни уравнения

где 1 - единичная матрица порядка n, которые определяются из уравнения

где - элементы матрицы А.

Собственные значения совпадают с корнями характеристического уравнения цепи.

Матричная экспонента, аргумент которой - матрица Аt, имеющая порядок n, представима конечным числом n слагаемых. Если собственные значения различны, то

где - функции времени; и т. д.

Наконец, определив из (14.100), по (14.99) находим и затем X (t) по (14.97).

Пример 14.6. Определить ток в цепи на рис. 14.42 после коммутации при .

Решение. Выбираем положительные направления токов в индуктивных элементах, т. е. переменных состояния, и тока . Независимые начальные условия: . Дифференциальные уравнения цепи

Исключив ток , получим уравнения относительно производных переменных состояния:

т. е. согласно (14.91)

и матрица-столбец начальных значений

Вычислим собственные значения; по (14.98)

откуда . Если приравнять нулю главный определитель уравнений с переменными состояния, то получим те же значения .

Находим коэффициенты ак по (14.100), т. е. из системы уравнений

Значения тока вычисленные в моменты секунд для интервала времени 0 - 0,1 с, в конце которого ток отличается от установившегося менее чем на 1,5%, приведены в табл. 14.1. При вычислениях цифры записывались с 8 разрядами, а во всех приведенных в примере формулах и в табл. 14.1 указаны с округлением.

Таблица 14.1

Если среди n собственных значений матрицы А есть q кратных , то для n - q разных корней составляется система (14.100), а для q кратных уравнения получаются после вычисления первых q - 1 производных по от обеих частей уравнения с корнем , т. е.

Факультет автоматики и электромеханики

Кафедра теоретической и общей электротехники

ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЯХ

(Метод переменных состояния)

Методические указания к выполнению курсовой работы

Составил Башев А.А.

Ред. проф. Алтунин Б.Ю.

Н.Новгород, 2010

Метод переменных состояния.

В основу метода переменных состояния положена принципиальная возможность замены дифференциального уравнения n -го порядка электрической цепи n дифференциальными уравнениями первого порядка. В качестве переменных состояния принимают токи индуктивностей и напряжения на ёмкостях , которые однозначно определяют запас энергии цепи в любой момент времени. Систему уравнений состояния можно представить в виде матричного уравнения:

где: – столбцевая матрица (вектор) n переменных состояния;

– столбцевая матрица (вектор) n первых производных переменных состояния;

- квадратная матрица размером , элементы которой определяются коэффициентами дифференциального уравнения цепи;

V(t) – столбцовая матрица (вектор) m независимых воздействий;

B – матрица размером , элементы которой зависят от параметров цепи и её структуры;

– столбцовая матрица, элементы которой зависят от независимых воздействий, структуры и параметров цепи.

Формирование системы дифференциальных уравнений цепи основано на использовании дифференциальных уравнений для переменных состояния, согласно которым

Расчёт цепей методом переменных состояний можно разделить на два этапа:

1) На первом этапе составляют систему дифференциальных уравнений цепи ;

2) На втором этапе решают составленную систему дифференциальных уравнений ;

Решение системы дифференциальных уравнений, составленных методом переменных состояния, можно выполнить двумя способами: аналитическим и численным.

При аналитическом способе решение уравнений состояния записывают в виде суммы матриц принуждённой и свободной составляющих:

где: – соответствует реакции цепи от внешних воздействий при нулевых начальных условиях ;

– матрица (вектор) начальных значений переменных состояния, полученных при ;

– матричная экспоненциальная функция.

– соответствует реакции цепи, обусловленной ненулевыми начальными условиями ; при отсутствии внешних воздействий V=0 ;

Если в цепи после коммутации нет источников энергии, т.е. , то решение матричного уравнения имеет вид:

Если же после коммутации есть источники независимых воздействий, то матрица , и интегрирование матричного уравнения приводит к решению в виде:

которое состоит из суммы двух слагаемых – реакции цепи при ненулевых начальных условиях и реакции цепи при нулевых начальных условиях и наличии источников внешних воздействий

При численном способе решения уравнений состояния используют различные программы численного интегрирования на ЭВМ: метод Рунге-Кутта, метод Эйлера, метод трапеций и др. Так, например, в пакете программ MathCAD приведены программы численного решения дифференциальных уравнений модифицированном методом Эйлера и методом Рунге-Кутта. Поскольку погрешность решения методом Эйлера достигает нескольких процентов, то более предпочтительным является метод Рунге-Кутта, который при решении уравнений четвёртого порядка даёт погрешность , где – шаг приращения переменной. Этот метод обеспечивает контроль точности вычислений на каждом шаге интегрирования и программную регулировку шага.

В системе MatchCAD программа интегрирования уравнений по методу Рунге-Кутта имеет имя rkfixed . Обращение к ней производится через операцию присваивания какой-либо переменной (в дальнейшем z ) имени программы:

где: x – вектор переменных состояния, размер которого определяется вектором начальных значений и соответствует числу уравнений состояния;

0 и – начало и конец временного интервала интегрирования;

N – число точек на интервале интегрирования;

D – функция, которая описывает правую часть уравнений, разрешённых относительно первых производных.

Для линейных цепей функция D имеет вид линейного матричного преобразования , где A – квадратная матрица коэффициентов, которые определяются структурой цепи и параметрами элементов; F – вектор независимых переменных, элементы которого определяются входными воздействиями. Все элементы матриц A и F должны быть определенны перед обращением к программе rkfixed .

Матрица z имеет размер , где первый столбец (нулевой) соответсвует дискретным значениям времени . Остальные столбцы этой матрицы соответствуют значениям переменных состояния: , где индекс i изменяется от 1 до N .

Для контоля правильности задания исходных данных можно (но не обязательно) обратиться к программе определения собственных чисел матрицы A : eigenvals (A ). Эта программа выводит информацию о собственных числах, которые совпадают с корнями характеристического уравнения цепи. Необходимым, но недостаточным условием правильности ввода данных, является набор отрицательных собственных чисел (или комплексно-сопряжённых чисел с отрицательно вещественной частью).

Рассмотрим теперь некоторые способы составления дифференциальных уравнений цепи по методу переменных состояния. Для этих целей наиболее часто применяют два основных способа:

1) использование законов Кирхгофа;

2) использование метода наложения.

Рассмотрим применение этих способов на некоторых примерах.

Пример 1. Требуется составить уравнения состояния и решить их для одноконтурной цепи второго порядка при отключении источника напряжения Е. Схема цепи приведена на рисунке 1(а), а параметры её элементов имеют следующие значения: Е=40 В; r=40 Ом; L=1 Гн; С=500мкФ.

Решение. Посмотрим схему замещения цепи для произвольного момента времени t , которая приведена на рисунке 1(б). На этой схеме ёмкость С заменена источником постоянного напряжения , а индуктивность L – источником тока . Результирующая схема замещения содержит только сопротивление r , источник тока и источник напряжения .

Рисунок 1. Исходная (а ) и расчётная (б ) схемы цепи к примеру 1.

Для полученной схемы можно составить уравнения, пользуясь законами Кирхгофа:

Откуда находим:

,

Из этих уравнений получаем значение первых производных переменных состояния:

.

Пользуясь которыми, запишем матричное уравнение цепи:

,

При использовании программы rkfixed это уравнение записывают в виде:

,

Это матричное уравнение необходимо ещё дополнить матрицей начальных состояний цепи, которая включает напряжение на ёмкости и ток в индуктивности на момент коммутации (т.е. при t=0_ ):

,

используемой для начала процесса интегрирования дифференциальных уравнений цепи.

Перед обращением к программе интегрирования rkfixed определяем через операцию присваивания значения следующих величин:

1) коэффициентов матрицы А :

2) значений вектора начальных состояний переменных

3) число точек интегрирования ;

4) формализованную матричную запись уравнений состояния при условии, что F=0 ;

5) конечное значение временного интервала .

Необходимый временной интервал интегрирования можно оценить по собственным числам матрицы А путём обращения к программе eigenvals (А ). В рассматриваемом примере имеются два комплексно сопряжённых числа , вещественные части которых одинаковы и равны . Эта часть комплексного числа определяет коэффициент затухания и непосредственно связана с длительностью переходного процесса формулой . Для наглядности в рассматриваемом примере интервал интегрирования выбран в два раза больше .

Форма записи исходных данных для программы rkfixed и результаты расчёта приведены на рисунке 2. Поскольку переменные состояния и измеряются в разных единицах и могут значительно отличаться друг от друга, то при построении графиков необходимо указать масштабные коэффициенты. Так, например, для графика переменной использован масштабный коэффициент, равный 100. Чтобы получить действительное значение тока , следует разделить значения, отсчитываемые по оси ординат, на 100.

Из полученных графиков следует, что переходный процесс в цепи носит колебательных характер, а обе функции постепенно затухают до нулевого значения при увеличении времени t .

Рисунок 2. Результаты расчёта к примеру 1.

Пример 2 . Составить уравнения для переменных состояния и рассчитать их при замыкании ключа К в цепи второго порядка, изображённой на рисунке 3(а). Параметры элементов цепи имеют следующие значения: А; r 1 =r 2 =50 Ом; L=5 мГн; С=0,1 мкФ.

Решение. Переходный процесс в рассматриваемой цепи возникает в результате перераспределения энергии между индуктивностью L и ёмкостью C после подключения сопротивления r 1 . Используя первый закон Кирхгофа, определим ток в ёмкости С :

.

а) б)

Рисунок 3. Исходная (а ) и расчётная (б ) схемы к примеру 2.

Аналогично, используя второй закон Кирхгофа, найдём напряжение на индуктивности:

.

Объединим эти уравнения в систему для переменных состояния:

.

Полученную систему уравнений запишем в матричной форме:

.

После подстановки числовых значений параметров элементов получим уравнения состояния в виде:

Для определения вектора начальных значений найдём напряжение на ёмкости и ток в индуктивности до замыкания ключа К:

Таким образом, вектор начальных значений переменных состояния имеет вид:

.

Схемы замещения для расчёта значений переменных состояния приведена на рисунке 3(б). На этой схеме ёмкость заменена источником напряжения , а индуктивность – источником тока . Значения этих величин изменяются на каждом шаге интегрирования.

Решение уравнений состояния выполним по программе rkfixed, входящей в систему MathCAD. Для этого присвоим переменным состояния следующие значения: и запишем уравнения состояния в виде:

,

где значения коэффициентов можно взять из уравнений состояния, рассчитанных выше, и включить в программу констант или определить через операции присваивания в самой программе.

Форма задания исходных данных для расчёта по программе rkfixed приведена на рисунке 4. Значение N=5000 указано произвольно, так как оно влияет только на время выполнения расчёта и точность. Косвенно оценить точность расчёта можно, сравнив результаты интегрирования для двух значений N=N 1 и N 1 /2 . Если результаты расчета в этих точках совпадают, то точность вычислений и число точек интегрирования на интервале t k находится в приемлемых пределах.

Через операцию присваивания определяем также вектор начальных значений х и вектор независимых источников F . Временной интервал t k может быть указан произвольно или приближённо выбран с помощью анализа чисел матрицы А .

Для апериодического процесса, который существует в рассматриваемой цепи, следует выбрать наименьшее по модулю собственное число p min и воспользоваться формулой t k =3/p min . Из двух собственных чисел p 1 =-1.888E5 1/c; p 2 =-2.118E4 1/c меньшее значение имеет p 2 , поэтому t k =3/2,118Е4=1,42Е-4 с.

Выбор интервала t k можно также выполнить, анализируя постоянные времени цепей первого порядка, которые можно построить на основе исходной цепи путём последовательного исключения реактивных элементов. При этом из найденных постоянных времени следует выбрать ту, которая имеет максимальное значение, и, используя её, рассчитать

Графики временных зависимостей и приведены на рисунке 4. Для переменной использован масштабный коэффициент, равный 100. Из этих графиков видно, что напряжение на ёмкости изменяется от до уровня , а ток в индуктивности – от до .

Рисунок 4. Результаты расчёта к примеру 2.

Пример 3 . Составить уравнения для переменных состояния и выполнить расчёт переходного процесса в цепи третьего порядка, приведённой на рисунке 5(а) при замыкании ключа К. Параметры элементов цепи имеют следующие значения: Е=120 В; r 1 =r 3 =r 4 =1 Ом; r 2 =r 5 =2 Ом; L 1 =1 мГн; L 2 =2 мГн; С=10 мкФ.

а) б)

Рисунок 5. Исходная (а ) и расчётная (б ) схемы к примеру 3.

Решение. Переходный процесс в схеме обусловлен перераспределением энергии реактивными элементами цепи после коммутации ключа К . На рисунке 5(б) изображена схема замещения цепи, на которой реактивные элементы заменены источниками напряжения и тока. Положительные направления этих источников согласованы с исходной схемой. При расчёте схемы замещения определению подлежат напряжения на источниках тока , и ток в ёмкости , так как именно они определяют производные от переменных состояния. При расчёте этих величин воспользуемся принципом наложения , в соответствие с которым реакцию линейной цепи можно определить в виде суммы реакций от отдельных источников. Для этого рассмотрим четыре частные схемы, приведённые на рисунке 6, в каждой из которых действует только один из источников, входящих в схему, приведённую на рисунке 5(б).

Метод переменных состояния (называемый иначе методом пространства состояний) основывается на двух уравнениях, записываемых в матричной форме.

Структура первого уравнения определяется тем, что оно связывает матрицу первых производных по времени переменных состояния с матрицами самих переменных состояния и внешних воздействий и, в качестве которых рассматриваются э. д. с. и токи источников.

Второе уравнение по своей структуре является алгебраическим и связывает матрицу выходных величин у с матрицами переменных состояния и внешних воздействий и.

Определяя переменные состояния, отметим следующие их свойства

1. В качестве переменных состояния в электрических цепях следует выбирать токи в индуктивностях и напряжения на емкостях, причем не во всех индуктивностях и не на всех емкостях, а только для независимых, т. е. таких, которые определяют общий порядок системы дифференциальных уравнений цепи.

2. Дифференциальные уравнения цепи относительно переменных состояния записываются в канонической форме, т. е. представляются решенными относительно первых производных переменных состояния по времени.

Отметим, что только при выборе в качестве переменных состояния токов к в независимых индуктивностях и напряжений на независимых емкостях первое уравнение метода переменных состояния будет иметь указанную выше структуру.

Если в качестве переменных состояния выбрать токи в ветвях с емкостями или токи в ветвях с сопротивлениями, а также напряжения на индуктивностях или напряжения на сопротивлениях то первое уравнение метода переменных состояния также можно представить в канонической форме, т. е. решенным относительно первых производных по времени этих величин. Однако структура их правых частей не будет соответствовать данному выше определению, так как в них будет еще входить матрица первых производных от внешних воздействий

3. Число переменных состояния равно порядку системы дифференциальных уравнений исследуемой электрической цепи.

4. Выбор в качестве переменных состояния токов и напряжений удобен еще и потому, что именно эти величины согласно законам коммутации (§ 13-1) в момент коммутации не изменяются скачком, т. е. одинаковы для моментов времени

5. Переменные состояния потому так и называются, что в каждый момент времени задают энергетическое состояние электрической цепи, так как последнее определяется суммой выражений

6. Представление уравнений в канонической форме очень удобно при их решении на аналоговых вычислительных машинах и для программирования при их решении на цифровых вычислительных машинах. Поэтому такое представление имеет очень важное значение при решении этих уравнений с помощью средств современной вычислительной техники.

Покажем на примере цепи рис. 14-14, как составляются уравнения по методу переменных состояния.

Сначала получим систему дифференциальных уравнений, соответствующую первому матричному уравнению метода, а затем запишем ее в матричной форме. Алгоритм составления этих уравнений для любой электрической цепи следующий. Сначала записываются урэвнения по законам Кирхгофа или по методу контурных токов; затем выбираются переменные состояния и путем дифференцирования исходных уравнений и исключения других переменных получаются

чаются уравнения метода переменных состояния. Этот алгоритм очень напоминает применяемый в классическом методе расчета пере ходных процессов для получения одного результирующего дифференциального уравнения относительно одного из переменных

В частных случаях, когда в цепи нет емкостных контуров т. е. контуров, все ветви которых содержат емкости, и нет узлов с присоединенными ветвями, в каждой из которых включены индуктивности, может быть указан и другой алгоритм. Не останавливая на нем, отметим лишь, что он основан на замене емкостей источниками э. д. с., индуктивностей - источниками тока и применении метода наложения.

Для цепи рис. 14-14 по законам Кирхгофа

(14-36)

Определяя из первого уравнения, подставляя в третье, заменяя и представляя полученное дифференциальное уравнение в канонической форме относительно получаем:

Решая второе уравнение (14-36) относительно , заменяя согласно первому уравнению (14-36) и подставляя , получаем:

Складывая почленно (14-38) с умноженным на уравнением (14-37) и определяя из полученного результата , получаем:

Перепишем уравнения (14-39) и (14-37) в матричной форме:

(14-4°)

где для рассматриваемой цепи имеем:

(14-42а)

В общем случае первое уравнение метода переменных состояния в матричной форме запишется в виде

(14-43)

Матрицы А и В в линейных цепях зависят только от параметров цепи , т. е. являются постоянными величинами. При этом А - квадратная матрица порядка и называется основной матрицей цепи, матрица В - в общем случае прямоугольная, размера называется матрицей связи между входом цепи и переменными состояния, матрицы - матрицы столбцы или векторы переменных состояния (размера и внешних возмущений (размера )

В рассматриваемом примере матрица В получилась квадратной второго порядка, так как число переменных состояния равно числу внешних возмущении

Перейдем к составлению второго уравнения метода В качестве выходных можно выбрать любые из величин. Возьмем, например, в качестве выходных три величины

Значения их запишутся через переменные состояния и внешние возмущения непосредственно из уравнений (14 36)

(14-44)

или в матричнои форме

или сокращенно

(14-46)

где для рассматриваемой цепи

а в общем случае второе уравнение метода переменных состояния

Матрицы С и D зависят только от параметров цепи . В общем случае - это прямоугольные матрицы соответственно размеров , причем С называется матрицей связи переменных состояния с выходом цепи, матрицей непосредственной связи входа и выхода цепи (или системы).

Для ряда физических систем D является нулевой матрицей и второй член в (14-48) обращается в нуль, так как нет непосред. ственной связи между входом и выходом системы.

Если в качестве переменных состояния взять, например, ток i и напряжение и представить дифференциальные уравнения относительно них в канонической форме, то (опуская все промежуточные преобразования) первое из уравнений метода в матричной форме будет иметь вид:

Таким образом, действительно, первое уравнение метода переменных состояния будет в матричной форме иметь вид (14-43) только при выборе в качестве переменных состояния тока и напряжения

Переходя к решению матричного дифференциального уравнения (14-43), прежде всего отметим, что оно особенно упрощается, если квадратная основная матрица А порядка является диагональной. Тогда все линейных дифференциальных уравнений (14-43) развязаны, т. е. производные переменных состояния зависят каждая только от своей переменной состояния.

Рассмотрим сначала решение линейного неоднородного матричного дифференциального уравнения (14-43) операторным методом Для этого преобразуем его по Лапласу:

причем матрица-столбец начальных значений переменных состояния, т. е.

(14-53)

которые в момент коммутации не изменяются скачком, заданы и равны их значениям в момент

Перепишем (14-51):

где - единичная матрица порядка .

Для получения матрицы изображений переменных состояния умножим слева обе части (14-54) на обратную матрицу

Переходя обратно к оригиналам при помощи обратного преобразования Лапласа, получаем:

Из операторного метода известно, что

По аналогии, записывая обратное преобразование Лапласа в матричной форме, будем иметь:

где - переходная матрица состояния системы, называемая иначе фундаментальной.

Таким образом, находим оригинал первого слагаемого правой части (14-56)

Обратная матрица определяется делением присоединенной или взаимной матрицы на определитель основной матрицы:

где уравнение

(14-61)

представляет собой характеристическое уравнение исследуемой цепи.

Оригинал второго слагаемого правой части (14-56) находится при помощи теоремы свертки в матричной форме

если положить

Тогда на основании (14-62)-(14-64)

и общее решение дифференциального неоднородного матричного уравнения (14-43) на основании (14-56), (14-59) и (14-65) будет иметь вид:

(14-66)

Первое слагаемое правой части (14-66) представляет собой значения переменных состояния или реакцию цепи при нулевом входе, т. е. Иначе говоря, оно представляет первую составляющую свободных процессов в цепи обусловленную ненулевыми начальными значениями переменных состояния цепи, и поэтому является решением уравнения . Второе слагаемое представляет собой составляющую реакции цепи при т. е. при нулевом состоянии цепи.

Нулевым состоянием цепи назовем такое ее состояние, когда начальные значения всех переменных состояния равны нулю. Иначе говоря, второе слагаемое (14-66) представляет собой сумму при принужденной реакции цепи возникающей под влиянием внешних воздействий и второй составляющей свободных процессов

Равенство (14-66) означает, что реакция цепи равна сумме реакций при нулевом входе и нулевом состоянии.

На основании (14-48) и (14-66) для выходных величин имеем.

Если состояние цепи задано не в момент , а в момент , то равенства (14-66) и (14-67) обобщаются:

(14-68)

Пример 14-5. Для разветвленной цепи второго порядка составлены уравнения состояния

при ненулевых начальных условиях и при единственном имеющем вней источнике э. д. с.

Найти переменные состояния .

Решение. Перепишем уравнения состояния в матричной форме

Найдем сначала первые свободные составляющие переменных состояния при нулевом входе Для этого составим матрицу

Для нахождения присоединенной или взаимной матрицы заменим в предыдущей матрице каждый элемент его алгебраическим дополнением Получим матрицу

Транспонируем ее, найдя присоединенную или взаимную матрицу:

Найдем определитель матрицы

На основании (14-60) обратная матрица будет равна:

Подвергнем ее обратному преобразованию Лапласа с учетом того, что для этого нужно подвергнуть обратному преобразованию Лапласа каждый ее элемент. На основании (14-73) получим переходную матрицу состояния цепи

Например,

Для переходной матрицы состояния системы получим:

Для первых свободных составляющих переменных состояния будем иметь

Суммируя полученные результаты, находим искомые значения переменных состояния:

Так как решение уравнения (14-43) было получено выше и дано формулой (14-66), то для проверки правильности решения (14-66) и вычисления с его помощью матрицы переменных состояния можно сначала непосредственной подстановкой (14-66) в (14-43) убедиться, что последнее при этом обращается в тождество. Для этого нужно только сначала вычислить дифференцируя (14-66). При этом получаем:

Теперь нетрудно непосредственно убедиться, что (14-66) действительно является решенпем матричного дифференциального уравненения

Отметим, что переходная матрица состояния системы ем позволяет найти в пространстве состояний, т. е. в пространстве, число измерений которого равно числу компонент вектора переменных состояния перемещение, начинающееся из некоторого начального положения (при или при ) причем вектор содержит значительную информацию, так как одновременно описывает все переменные состояния, т. е. функции времени .

Изучите теоретический материал по учебной литературе: ; и ответьте на следующие вопросы:

1. Какие переменные в электрической цепи обычно принимают за переменные состояния?

2. Сколько систем уравнений составляют при решении задачи методом переменных состояния?

3. Какие зависимости устанавливаются в первой и во второй системах уравнений при решении задачи методом переменных состояния?

4. Какая из двух систем является системой дифференциальных уравнений, алгебраических?

5. Какие способы используются для получения уравнений состояния и уравнений выходных параметров?

При расчете переходного процесса методом переменных состояния рекомендуется следующий порядок:

1. Выбрать переменные состояния. В предложенных для расчета схемах это напряжения на емкостных элементах и токи в индуктивных катушках .

2. Составить систему дифференциальных уравнений для первых производных от переменных состояния.

Для этого описать послекоммутационную схему с помощью законов Кирхгофа и решить ее относительно первых производных от переменных состояния и в зависимости от переменных , и источников э.д.с. (в предлагаемых схемах источник э.д.с. – единственный).

В матричной форме эта система дифференциальных уравнений 1-го порядка будет иметь вид:

, (8.1)

где – столбец производных , ;

Х – вектор - столбец переменных состояния.

В цепях второго порядка:

– квадратная матрица порядка n , определяемая топологией электрической цепи и параметрами ее элементов. В цепях второго порядка эта матрица имеет порядок 2´2.

Матрица – прямоугольная матрица порядка , где n – порядок цепи.

Матрица – столбец – определяется источниками э.д.с. и источниками токов схемы и называется вектором входных величин .

3. Составить систему алгебраических уравнений для искомых переменных, которые называются выходными . Это токи в любых ветвях схемы (кроме тока ) и напряжения на любых элементах схемы (кроме напряжения ). Полученные алгебраические уравнения устанавливают связи между выходными переменными, с одной стороны, и переменными состояния и источниками напряжения и тока схемы – с другой. В матричной форме эта система алгебраических уравнений имеет вид

,

где – вектор выходных величин;

– матрицы, определяемые топологией электрической цепи, параметрами ее элементов и количеством искомых переменных.

Анализ и синтез систем управления во временной области основан на понятии состояния системы. Состояние системы-это совокупность таких переменных, знание которых, наряду со входными функциями и уравнениями, описывающими динамику системы, позволяет определить ее будущее состояние и выходную переменную. Для динамиче­ской системы ее состояние описывается набором переменных состояния [ЛГ[(?), X2(t) Х„(0]- Это такие переменные, которые определяют будущее поведение систе­мы, если известно ее текущее состояние и все внешние воздействия. Рассмотрим систему, изображенную на рис. 3.1, где^,^) иy2(t) есть выходные переменные, a ux(t) и u2(t)- вход­ные переменные. Для ЭТОЙ системы переменные (*[, х2,..., хп) имеют следующий смысл: если в момент времени t0 известны начальные значения [^(fo), x2(t0), ...,xn(tQ)] и входные сигналы щ(і) и u2(f) для t > t0, то этой информации достаточно, чтобы определить будущие значения всех переменных состояния и выходных переменных.

Переменные состояния описывают поведение системы в будущем, если извест­ны текущее состояние, внешние воздействия и уравнения динамики системы.

Общий вид динамической системы приведен на рис. 3.2.

Простым примером переменной состояния может служить положение выключателя электролампочки. Выключатель может быть в одном из двух положений - «включено» или «выключено», поэтому его состоянию соответствует одно из двух возможных значе­ний. Если мы знаем, в каком состоянии (положении) находится выключатель в момент времени t0, и если мы прикладываем к нему воздействие, то мы всегда можем определить будущее состояние элемента.

xx(t)=y(i) И x2(t) = -

Дифференциальное уравнение, описывающее поведение системы, обычно записывается в виде

Эти уравнения по сути описывают поведение системы в терминах скорости изменения каждой переменной состояния. Другим примером системы, которую можно описать переменными состояния, яв­ляется ТЛС-цепь, изображенная на рис. 3.4. Состояние системы характеризуется двумя переменными (Х[, х2) где хх есть напряжение на конденсаторе vc(/), и х2 - ток через ин­дуктивность //(/). Выбор этих переменных интуитивно понятен, т. к. общая энергия, за­пасенная в цепи, непосредственно зависит от них, как E=(l/2)Z,/£ +(1/2)Cvc2. (3.5) Таким образом, Х](/0) и x2(t0) несут информацию о полной начальной энергии в цепи и, сле­довательно, о состоянии системы в момент t = /0. Для описания пассивной ЛіС-цепи число необходимых переменных состояния равно числу независимых элементов, накапливаю­щих энергию. Используя закон Кирхгофа для токов, запишем дифференциальное уравне­ние первого порядка, определяющее скорость изменения напряжения на конденсаторе: іс ~С - у - = u(t)~ і і (3.6)

Источник4^ тока

Рис. 3.4. RLC-цепь

Закон Кирхгофа для напряжений, примененный к правому контуру, дает уравнение, опре­деляющее скорость изменения тока через индуктивность:

L^=-Ri, + vc. (3.7)

Выход системы определяется линейным алгебраическим уравнением:

Уравнения (3.6) и (3.7) мы можем переписать в виде системы двух дифференциальных уравнений относительно переменных состояния хх и х2:

*L-lx --Х Г3 9Ї

Тогда выходной сигнал будет равен

^i(0 = v0(0 = R х2. (3.10)

Используя уравнения (3.8) и (3.9), а также начальные условия , мы сможем определить будущее поведение системы и ее выходную переменную.

Переменные состояния, описывающие систему, не являются единственными, и все­гда можно выбрать альтернативную комбинацию таких переменных. Например, для сис­темы второго порядка, такой как масса-пружина или RLC-цепь, в качестве переменных состояния можно выбрать любые две линейно независимые комбинации xx{t) и x2(t). Так, для RLC-цепи мы могли бы принять за переменные состояния два напряжения, vc(/) и v; (/), где vL - напряжение на индуктивности. Тогда новые переменные состояния, х, их"2, будут связаны со старыми переменными хх и х2 соотношениями:

х =vc =х, (3.11)

х* = Vj =vc - RiL =х, - Rx2. (3.12)

Уравнение (3.12) связывает напряжение на индуктивности со старыми переменными состояния vc и iL. В реальной системе всегда можно образовать несколько комбинаций пе­ременных состояния, которые определяют энергию, запасенную в системе, и, следовате­льно, адекватно описывают ее динамику. На практике в качестве переменных состояния часто выбирают такие физические переменные, которые легко могут быть измерены.

Альтернативный метод получения модели в переменных состояния основан на испо­льзовании графа связей. Такие графы могут быть построены для электрических, механи­ческих, гидравлических и тепловых элементов или систем, а также для комбинаций эле­ментов различных типов. Графы связей позволяют получить систему уравнений относи­

тельно переменных состояния.

Переменные состояния характеризуют динамику системы. Инженера в первую оче­редь интересуют физические системы, в которых переменными являются напряжения, токи, скорости, перемещения, давления, температуры и другие аналогичные физические величины. Однако понятие состояния применимо к анализу не только физических, но так­же биологических, социальных и экономических систем. Для этих систем понятие состоя­ния не ограничивается рамками представлений об энергии и подходит к переменным со­стояния в более широком смысле, трактуя их как переменные любой природы, описываю­щие будущее поведение системы.