Описание системы в переменных состояния. Переменные состояния динамической системы
Множественная регрессия не является результатом преобразования уравнения:
-
;
-
.
Линеаризация подразумевает процедуру …
- приведения уравнения множественной регрессии к парной;
+ приведения нелинейного уравнения к линейному виду;
- приведения линейного уравнения к нелинейному виду;
- приведения нелинейного уравнения относительно параметров к уравнению, линейному относительно результата.
Остатки не изменяются;
Уменьшается количество наблюдений
В стандартизованном уравнении множественной регрессии переменными являются:
Исходные переменные;
Стандартизованные параметры;
Средние значения исходных переменных;
Стандартизованные переменные.
Одним из методов присвоения числовых значений фиктивным переменным является. . .
+– ранжирование;
Выравнивание числовых значений по возрастанию;
Выравнивание числовых значений по убыванию;
Нахождение среднего значения.
В матрице парных коэффициентов корреляции отображены значения парных коэффициентов линейной корреляции между. . . .
Переменными;
Параметрами;
Параметрами и переменными;
Переменными и случайными факторами.
Метод оценки параметров моделей с гетероскедастичными остатками называется ____________ методом наименьших квадратов:
Обычным;
Косвенным;
Обобщенным;
Минимальным.
Дано уравнение регрессии . Определите спецификацию модели.
Полиномиальное уравнение парной регрессии;
Линейное уравнение простой регрессии;
Полиномиальное уравнение множественной регрессии;
Линейное уравнение множественной регрессии.
В стандартизованном уравнении свободный член ….
Равен 1;
Равен коэффициенту множественной детерминации;
Равен коэффициенту множественной корреляции;
Отсутствует.
В качестве фиктивных переменных в модель множественной регрессии включаются факторы,
Имеющие вероятностные значения;
Имеющие количественные значения;
Не имеющие качественных значений;
Не имеющие количественных значений.
Факторы эконометрической модели являются коллинеарными, если коэффициент …
Корреляции между ними по модулю больше 0,7;
Детерминации между ними по модулю больше 0,7;
Детерминации между ними по модулю меньше 0,7;
Обобщенный метод наименьших квадратов отличается от обычного МНК тем, что при применении ОМНК …
Преобразуются исходные уровни переменных;
Остатки не изменяются;
Остатки приравниваются к нулю;
Уменьшается количество наблюдений.
Объем выборки определяется …
Числовыми значением переменных, отбираемых в выборку;
Объемом генеральной совокупности;
Числом параметров при независимых переменных;
Числом результативных переменных.
11. Множественная регрессия не является результатом преобразования уравнения:
+-
;
-
;
-
.
Исходные значения фиктивных переменных предполагают значения …
Качественные;
Количественно измеримые;
Одинаковые;
Значения.
Обобщенный метод наименьших квадратов подразумевает …
Преобразование переменных;
Переход от множественной регрессии к парной;
Линеаризацию уравнения регрессии;
Двухэтапное применение метода наименьших квадратов.
Линейное уравнение множественной регрессии имеет вид . Определите какой из факторовили:
+- , так как 3,7>2,5;
Оказывают одинаковое влияние;
- , так как 2,5>-3,7;
По этому уравнению нельзя ответить на поставленный вопрос, так как коэффициенты регрессии несравнимы между собой.
Включение фактора в модель целесообразно, если коэффициент регрессии при этом факторе является …
Нулевым;
Незначимым;
Существенным;
Несущественным.
Что преобразуется при применении обобщенного метода наименьших квадратов?
Стандартизованные коэффициенты регрессии;
Дисперсия результативного признака;
Исходные уровни переменных;
Дисперсия факторного признака.
Проводится исследование зависимости выработки работника предприятия от ряда факторов. Примером фиктивной переменной в данной модели будет являться ______ работника.
Возраст;
Уровень образования;
Заработная плата.
Переход от точечного оценивания к интервальному возможен, если оценки являются:
Эффективными и несостоятельными;
Неэффективными и состоятельными;
Эффективными и несмещенными;
Состоятельными и смещенными.
Матрица парных коэффициентов корреляции строится для выявления коллинеарных и мультиколлинеарных …
Параметров;
Случайных факторов;
Существенных факторов;
Результатов.
На основании преобразования переменных при помощи обобщенного метода наименьших квадратов получаем новое уравнение регрессии, которое представляет собой:
Взвешенную регрессию, в которой
переменные взяты с весами
;
;
Нелинейную регрессию, в которой
переменные взяты с весами
;
Взвешенную регрессию, в которой переменные взяты с весами .
Если расчетное значение критерия Фишера меньше табличного значения, то гипотеза о статистической незначимости уравнения …
Отвергается;
Незначима;
Принимается;
Несущественна.
Если факторы входят в модель как произведение, то модель называется:
Суммарной;
Производной;
Аддитивной;
Мультипликативной.
Уравнение регрессии, которое связывает результирующий признак с одним из факторов при зафиксированных на среднем уровне значении других переменных, называется:
Множественным;
Существенным;
Частным;
Несущественным.
Относительно количества факторов, включенных в уравнение регрессии, различают …
Линейную и нелинейную регрессии;
Непосредственную и косвенную регрессии;
Простую и множественную регрессию;
Множественную и многофакторную регрессию.
Требованием к уравнениям регрессии, параметры которых можно найти при помощи МНК является:
Равенство нулю значений факторного признака4
Нелинейность параметров;
Равенство нулю средних значений результативной переменной;
Линейность параметров.
Метод наименьших квадратов не применим для …
Линейных уравнений парной регрессии;
Полиномиальных уравнений множественной регрессии;
Уравнений, нелинейных по оцениваемым параметрам;
Линейных уравнений множественной регрессии.
При включении фиктивных переменных в модель им присваиваются …
Нулевые значения;
Числовые метки;
Одинаковые значения;
Качественные метки.
Если между экономическими показателями существует нелинейная связь, то …
Нецелесообразно использовать спецификацию нелинейного уравнения регрессии;
Целесообразно использовать спецификацию нелинейного уравнения регрессии;
Целесообразно использовать спецификацию линейного уравнение парной регрессии;
Необходимо включить в модель другие факторы и использовать линейное уравнение множественной регрессии.
Результатом линеаризации полиномиальных уравнений является …
Нелинейные уравнения парной регрессии;
Линейные уравнения парной регрессии;
Нелинейные уравнения множественной регрессии;
Линейные уравнения множественной регрессии.
В
стандартизованном уравнении множественной
регрессии
0,3;
-2,1.
Определите, какой из факторовилиоказывает более сильное влияние на:
+- , так как 2,1>0,3;
По этому уравнению нельзя ответить на поставленный вопрос, так как неизвестны значения «чистых» коэффициентов регрессии;
- , так как 0,3>-2,1;
По этому уравнению нельзя ответить на поставленный вопрос, так как стандартизированные коэффициенты несравнимы между собой.
Факторные переменные уравнения множественной регрессии, преобразованные из качественных в количественные называются …
Аномальными;
Множественными;
Парными;
Фиктивными.
Оценки параметров линейного уравнения множественной регрессии можно найти при помощи метода:
Средних квадратов;
Наибольших квадратов;
Нормальных квадратов;
Наименьших квадратов.
Основным требованием к факторам, включаемым в модель множественной регрессии, является:
Отсутствие взаимосвязи между результатом и фактором;
Отсутствие взаимосвязи между факторами;
Отсутствие линейной взаимосвязи между факторами;
Наличие тесной взаимосвязи между факторами.
Фиктивные переменные включаются в уравнение множественной регрессии для учета действия на результат признаков …
Качественного характера;
Количественного характера;
Несущественного характера;
Случайного характера.
Из пары коллинеарных факторов в эконометрическую модель включается тот фактор,
Который при достаточно тесной связи с результатом имеет наибольшую связь с другими факторами;
Который при отсутствии связи с результатом имеет максимальную связь с другими факторами;
Который при отсутствии связи с результатом имеет наименьшую связь с другими факторами;
Который при достаточно тесной связи с результатом имеет меньшую связь с другими факторами.
Гетероскедастичность подразумевает …
Постоянство дисперсии остатков независимо от значения фактора;
Зависимость математического ожидания остатков от значения фактора;
Зависимость дисперсии остатков от значения фактора;
Независимость математического ожидания остатков от значения фактора.
Величина остаточной дисперсии при включении существенного фактора в модель:
Не изменится;
Будет увеличиваться;
Будет равно нулю;
Будет уменьшаться.
Если спецификация модели отображает нелинейную форму зависимости между экономическими показателями, то нелинейно уравнение …
Регрессии;
Детерминации;
Корреляции;
Аппроксимации.
Исследуется зависимость, которая характеризуется линейным уравнением множественной регрессии. Для уравнения рассчитано значение тесноты связи результативной переменной с набором факторов. В качестве этого показателя был использован множественный коэффициент …
Корреляции;
Эластичности;
Регрессии;
Детерминации.
Строится модель зависимости спроса от ряда факторов. Фиктивной переменной в данном уравнении множественной регрессии не является _________потребителя.
Семейное положение;
Уровень образования;
Для существенного параметра расчетное значение критерия Стьюдента …
Больше табличного значения критерия;
Равно нулю;
Не больше табличного значения критерия Стьюдента;
Меньше табличного значения критерия.
Систему МНК, построенную для оценки параметров линейного уравнения множественной регрессии можно решить …
Методом скользящего среднего;
Методом определителей;
Методом первых разностей;
Симплекс-методом.
Показатель, характеризующий на сколько сигм изменится в среднем результат при изменении соответствующего фактора на одну сигму, при неизменном уровне других факторов, называется ____________коэффициентом регрессии
Стандартизованным;
Нормализованным;
Выровненным;
Центрированным.
Мультиколлинеарность факторов эконометрической модели подразумевает …
Наличие нелинейной зависимости между двумя факторами;
Наличие линейной зависимости между более чем двумя факторами;
Отсутствие зависимости между факторами;
Наличие линейной зависимости между двумя факторами.
Обобщенный метод наименьших квадратов не используется для моделей с _______ остатками.
Автокоррелированными и гетероскедастичными;
Гомоскедастичными;
Гетероскедастичными;
Автокоррелированными.
Методом присвоения числовых значений фиктивным переменным не является:
Ранжирование;
Присвоение цифровых меток;
Нахождения среднего значения;
Присвоение количественных значений.
Нормально распределенных остатков;
Гомоскедастичных остатков;
Автокорреляции остатков;
Автокорреляции результативного признака.
Отбор факторов в модель множественной регрессии при помощи метода включения основан на сравнении значений …
Общей дисперсии до и после включения фактора в модель;
Остаточной дисперсии до и после включения случайных факторов в модель;
Дисперсии до и после включения результата в модель;
Остаточной дисперсии до и после включения фактора модель.
Обобщенный метод наименьших квадратов используется для корректировки …
Параметров нелинейного уравнения регрессии;
Точности определения коэффициента множественной корреляции;
Автокорреляции между независимыми переменными;
Гетероскедастичности остатков в уравнении регрессии.
После применения обобщенного метода наименьших квадратов удается избежать_________ остатков
Гетероскедастичности;
Нормального распределения;
Равенства нулю суммы;
Случайного характера.
Фиктивные переменные включаются в уравнения ____________регрессии
Случайной;
Парной;
Косвенной;
Множественной.
Взаимодействие факторов эконометрической модели означает, что …
Влияние факторов на результирующий признак зависит от значений другого неколлинеарного им фактора;
Влияние факторов на результирующий признак усиливается, начиная с определенного уровня значений факторов;
Факторы дублируют влияние друг друга на результат;
Влияние одного из факторов на результирующий признак не зависит от значений другого фактора.
Тема Множественная регрессия (Задачи)
Уравнение регрессии, построенное по 15 наблюдениям, имеет вид:
Пропущенные значения, а также доверительный интервал для
с вероятностью 0,99 равны:
Уравнение регрессии, построенное по 20 наблюдениям, имеет вид:
с вероятностью 0,9 равны:
Уравнение регрессии, построенное по 16 наблюдениям, имеет вид:
Пропущенные значения, а также доверительный интервал для с вероятностью 0,99 равны:
Уравнение регрессии в стандартизированном виде имеет вид:
Частные коэффициенты эластичности равны:
Стандартизованное уравнение регрессии имеет вид:
Частные коэффициенты эластичности равны:
Стандартизованное уравнение регрессии имеет вид:
Частные коэффициенты эластичности равны:
Стандартизованное уравнение регрессии имеет вид:
Частные коэффициенты эластичности равны:
Стандартизованное уравнение регрессии имеет вид:
Частные коэффициенты эластичности равны:
По 18 наблюдениям получены следующие данные:
;
;
;
;
равны:
По 17 наблюдениям получены следующие данные:
;
;
;
;
Значения скорректированного коэффициента детерминации, частных коэффициентов эластичности и параметра равны:
По 22 наблюдениям получены следующие данные:
;
;
;
;
Значения скорректированного коэффициента детерминации, частных коэффициентов эластичности и параметра равны:
По 25 наблюдениям получены следующие данные:
;
;
;
;
Значения скорректированного коэффициента детерминации, частных коэффициентов эластичности и параметра равны:
По 24 наблюдениям получены следующие данные:
;
;
;
;
Значения скорректированного коэффициента детерминации, частных коэффициентов эластичности и параметра равны:
По 28 наблюдениям получены следующие данные:
;
;
;
;
Значения скорректированного коэффициента детерминации, частных коэффициентов эластичности и параметра равны:
По 26 наблюдениям получены следующие данные:
;
;
;
;
Значения скорректированного коэффициента детерминации, частных коэффициентов эластичности и параметра равны:
В уравнении регрессии:
Восстановить пропущенные характеристики; построить доверительный интервал для с вероятностью 0,95, еслиn=12
А б в
Накопителем энергии - емкостью
Расчет переходных процессов в цепях с одним
Электромагнитные процессы при переходном процессе в таких цепях обусловлены запасом электрической энергии в емкости С и рассеиванием этой энергии в виде тепла на активных сопротивлениях цепи. При составлении дифференциального уравнения следует в качестве неизвестной функции выбрать напряжение u C на емкости. Следует отметить, что при расчете установившихся режимов, т. е. при определении начальных условий и принужденной составляющей, сопротивление емкости в цепях постоянного тока равно бесконечности.
Пример 6.2. Включение последовательной цепи R,C на постоянное напряжение.
Цепь (рис. 6.3, а ), состоящая из последовательно соединенных сопротивления R = 1000 Ом и емкости С = 200 мкФ, в некоторый момент времени подключается к постоянному напряжению U= 60 В. Требуется определить ток и напряжение емкости в переходном процессе и построить графики u C (t ), i (t ).
R i R i, A u, B
U C U C t = 0.02,c
0 t 2t 3t t , с
Решение. 1. Определяем начальные условия. Начальное условие u C (-0) = 0, так как цепь до коммутации была отключена (полагаем достаточно длительное время).
2. Изображаем электрическую цепь после коммутации (рис. 6.3, б ), указываем направления тока и напряжений и для нее составляем уравнение по второму закону Кирхгофа
или .
3. Преобразуем уравнение п.2 в дифференциальное. Для этого, подставив вместо тока i известное уравнение , получим:
4. Решение уравнения (искомое напряжение на емкости) ищем в виде:
.
5. Определяем . Так как в цепи постоянного тока в установившемся режиме сопротивление емкости равно бесконечности (при этом ), то все напряжение будет приложено к емкости. Поэтому
u C пр =U= 60 В.
6. Составляем однородное дифференциальное уравнение
решением которого будет функция
7. Составляем характеристическое уравнение RC l + 1= 0, корень которого равен
Постоянная времени
8. Запишем решение .
9. Согласно второму закону коммутации и начальным условиям
10. Определим постоянную интегрирования А путем подстановки t =0 в уравнение п.8
Напряжение на емкости в переходном процессе
11. Ток в цепи можно определить по уравнению
или по уравнению п. 2
Графики u C (t ) и i (t ) представлены на рис. 6.3, в .
Мгновенные значения токов и напряжения, определяющие энергетическое состояние электрической цепи, называются в данном методе переменными, а сам метод назван методом переменных состояния.
Этот метод основан на составлении системы дифференциальных уравнений и, как правило, численном их решении с помощью ЭВМ.
В качестве неизвестных здесь следует принимать переменные, которые не имеют разрывов, т.е. за время не должно быть скачкообразного изменения этих величин. Такими переменными, следовательно, должны быть ток i и потокосцепление в индуктивности, напряжение и заряд на емкости. В противном случае при численном решении производных в точках, где имеется разрыв, возникает бесконечно большая величина, что недопустимо.
Существуют различные численные методы расчета дифференциальных уравнений. Это методы Эйлера, Рунге-Кутта и другие, которые отличаются друг от друга точностью расчета, объемом и временем вычислений. При этом, чем больше точность вычислений, тем больше требуется времени для решения.
1. Определить начальные условия.
2. Составить систему дифференциальных уравнений.
3. Все переменные в уравнениях п.2 выразить через токи или потокосцепления в индуктивностях и напряжения или заряды на емкостях.
4. Все уравнения п.3 свести к нормальной форме Коши.
Основы > Теоретические основы электротехники
Метод переменных состояния
Уравнениями состояния
можно назвать любую систему уравнений, определяющих режим цепи. В более узком смысле - это система дифференциальных уравнений первого порядка, разрешенная относительно производных.
Методом переменных состояния назовем анализ цепи, основанный на решении уравнений состояния (первого порядка), записанных в форме Коши. Таким образом, метод переменных состояния - один из методов расчета прежде всего переходных процессов. Далее предполагается, что цепь имеет только независимые источники и не содержит индуктивных сечений и емкостных контуров. В противном случае составление уравнений становится намного сложнее.
Для линейной цепи с постоянными сосредоточенными параметрами ток каждой ветви, напряжение между выбранными выводами, заряд на обкладках конденсатора и т. д. всегда можно найти как решение составленного для этого тока, напряжения, заряда и т. д. дифференциального уравнения (например, исключением других токов и напряжений из системы уравнений Кирхгофа):
Введением переменных
это уравнение сводится к эквивалентной системе дифференциальных уравнений первого порядка:
Здесь переменными, которые называются
переменными состояния
, служат переменная х и ее производные.
Как известно, переходный процесс в любой цепи, кроме ее параметров (значений
r
, L, С, М) и действующих источников
[
e(t) и J(t)], определяется независимыми начальными (t = 0) условиями - токами в индуктивных элементах
и напряжениями на емкостных элементах
, которые должны быть известны или рассчитаны. Через них выражаются искомые величины во время переходного процесса. Они же определяют энергетическое состояние цепи. Поэтому в качестве переменных состояния целесообразно выбирать токи
и напряжения
. Действующие источники можно назвать входными величинами
, искомые величины - выходными
. Для цепи с
n
независимыми токами
и напряжениями
должны быть заданы еще
n
независимых начальных условий.
Сокращенно дифференциальные уравнения состояния запишем в матричной форме так:
или короче
где X матрица-столбец (размера
n x
1) переменных состояния (вектор переменных состояния); F - матрица-столбец (размера m x 1) ЭДС и токов источников (внешних возмущений); А - квадратная матрица порядка
n
(основная); В - матрица размера п
х
m
(матрица связи). Элементы этих матриц определяются топологией и параметрами цепи.
Для выходных величин (если определяются не токи в индуктивных и напряжения на емкостных элементах) в матричной форме система алгебраических уравнений имеет вид
или короче
где W - матрица-столбец (размера
l x 1
);
M
- матрица связи (размера
l x n
); N - матрица связи (размера
l x m
).
Элементы матриц зависят от топологии и параметров цепи. Для уравнений состояния разработаны и машинные алгоритмы формирования на основе топологии и значений параметров.
Уравнения в матричной форме (14.91) можно составить, например, с применением метода наложения. Для получения зависимостей между производными переменных состояния, т. е.
и переменными состояния
, а также ЭДС и токами источников, действующими в цепи, будем считать, что переменные состояния заданы. Рассматриваемую цепь, например на рис. 14.41, а, заменим после коммутации эквивалентной (рис. 14.41,6), у которой каждый заданный ток
представлен источником тока
,
а каждое заданное напряжение
- источником напряжения (ЭДС)
. Применив метод наложения (положительные направления выбраны), запишем напряжения
и токи
(сначала учитываем действие источников
затем
и далее источников, действующих в цепи):
Так как , то
Конечно, уравнения (14.93) можно получить и из уравнений Кирхгофа исключением токов и напряжений ре-зистивных элементов. Однако совместное решение уравнений Кирхгофа с увеличением числа ветвей цепи становится все более громоздким.
Уравнения состояния можно формировать и сразу в матричной форме.
Если источников тока и ЭДС нет, т. е. F = 0, то уравнения (14.91) упрощаются
и характеризуют свободные процессы в цепи. Решение запишем в виде
где X (0) - матрица-столбец начальных значений переменных состояния;
- матричная экспоненциальная функция.
Подставив (14.94) в (14.91в), убедимся, что получается тождество.
При
решение уравнения (14.91) представим в виде
где Ф(t ) - некоторая матричная функция цепи. После дифференцирования (14.95) получим
Сравним (14.96) с (14.91а)
и, умножив на , после интегрирования найдем, что
где
q
- переменная интегрирования, или
Подставим это выражение в (14.95):
В частности, при t = 0 имеем
Следовательно, решение для переменных состояния записывается в виде
(реакция цепи равна сумме реакций при нулевом входе и при нулевом начальном состоянии).
Это решение можно получить и применив операторный метод расчета переходных процессов, рассматриваемый в разделе .
Выходные величины можно найти по (14.92).
Если состояние цепи задано не при t = 0, а при
, то в (14.97) первое слагаемое записывается так:
, а нижний предел интеграла не 0, а
t
.
Главная трудность расчета заключается в вычислении матричной экспоненциальной функции. Один из путей такой: сначала находим собственные значения
l
матрицы А, т. е. корни уравнения
где 1 - единичная матрица порядка n , которые определяются из уравнения
где
- элементы матрицы А.
Собственные значения совпадают с корнями
характеристического уравнения цепи.
Матричная экспонента, аргумент которой - матрица А
t
, имеющая порядок
n
, представима конечным числом
n
слагаемых. Если собственные значения различны, то
Где
- функции времени;
и т. д.
Далее для определения
составляем алгебраическую систему
n
уравнений
Наконец, определив
из (14.100), по (14.99) находим
и затем X (t) по (14.97).
Пример 14.6. Определить ток в цепи на рис. 14.42 после коммутации при .
Решение. Выбираем положительные направления токов в индуктивных элементах, т. е. переменных состояния, и тока . Независимые начальные условия: . Дифференциальные уравнения цепи
Исключив ток , получим уравнения относительно производных переменных состояния:
т. е. согласно (14.91)
и матрица-столбец начальных значений
Вычислим собственные значения; по (14.98)
откуда
. Если приравнять нулю главный определитель уравнений с переменными состояния, то получим те же значения
.
Находим коэффициенты ак по (14.100), т. е. из системы уравнений
Значения тока вычисленные в моменты секунд для интервала времени 0 - 0,1 с, в конце которого ток отличается от установившегося менее чем на 1,5%, приведены в табл. 14.1. При вычислениях цифры записывались с 8 разрядами, а во всех приведенных в примере формулах и в табл. 14.1 указаны с округлением.
Таблица 14.1
0,005 |
0,010 |
0,015 |
0,020 |
0,025 |
0,030 |
0,035 |
0,040 |
0,045 |
0,050 |
|
1,079 |
1,213 |
1,343 |
1,455 |
1,550 |
1,628 |
1,692 |
1,746 |
1,790 |
1,827 |
|
0,055 |
0,060 |
0,065 |
0,070 |
0,075 |
0,080 |
0,085 |
0,090 |
0,095 |
0,100 |
|
, то для
n
- q разных корней составляется система (14.100), а для q кратных уравнения получаются после вычисления первых q - 1 производных по
от обеих частей уравнения с корнем
, т. е. Если в цепи действует только один источник ЭДС (или тока), представляющий единичный скачок 1( t ), т. е. F(t )=1(t ), и начальные условия нулевые, то решение (14.97) запишется в видеДля выходных величин по (14.92а) получим Это будут переходные функции цепи h(t). Импульсные переходные функции k (t ) определяются по (14.84) или (14.85).Более общим путем вычисления матричной экспоненциальной функции служит ее представление бесконечным рядом но ряд при больших t медленно сходится. При ограничении конечным числом слагаемых вычисление сводится к умножению и суммированию матриц. Такие операции есть в математическом обеспечении ЭВМ. Известен метод вычисления матричной экспоненциальной функции, основанный на критерии Сильверста. Уравнения состояния цепей, порядок которых больше двух-трех, проще решаются не аналитическими, а численными методами, дающими возможность автоматизировать расчет в случае применения ЭВМ. |
Как указывалось выше САУ, независимо от природы составляющих его звеньев, может быть описана подобными дифференциальными уравнениями (2.1). Эти способы относятся к так называемым внешним описаниям системы. Наоборот, внутреннее описание дается в переменных состояния, предпочтительно используется для тех систем, которые имеют более одного входа и выхода. При этом под переменными состояния системы понимается набор переменных , производные первого порядка от которых входят в математическую модель САУ. С другой стороны, под переменными состояния понимается совокупность переменных, значения которых наряду с входным воздействием позволяет определить будущее состояние системы и выходные величины . Математическая модель системы в переменных состояния удобна для компьютерного анализа.
Пусть линейная система, характеризуется вектором состояния , составленным из n -переменных состояния. На вход системы поступают входные управляющие сигналы . Система описывается следующими уравнениями состояния в векторном виде:
(3.2)
где и - матрицы, составленные из постоянных коэффициентов, имеют вид:
, .
Кроме уравнения (3.2) для системы можно составить следующее матричное уравнение:
(3.3)
Здесь -– вектор выходных величин. Матрицы постоянных величин имеют вид
.
Решение систем уравнений (3.2) и (3.3) для некоторого момента времени t = t 0 позволяет найти для времени t>t 0 , т. е. определить будущее состояние системы, а также дает возможность определить выходные величины .
Из системы уравнений (3.2) и (3.3) можно исключить вектор . В этом случае преобразование «вход-выход» может быть описан линейными дифференциальными уравнениями n-го порядка с постоянными коэффициентами в виде (2.1).
Все рассматриваемые виды описаний тесно взаимосвязаны, поэтому, зная одно из них, можно получить остальные. Например, связь между матрицами , , описания в пространстве состояний и комплексной передаточной функцией системы W(s) задается уравнением
W(s)= (sE- ) -1
где s оператор Лапласа, E единичная матрица.
Управляемость и наблюдаемость
В п-мерном пространстве состояний каждому состоянию системы соответствует некоторое положение изображающей точки, определяемое значениями переменные состояния (i = 1, 2,... п).
Пусть в пространстве состояний заданы два множества и . Рассматриваемая система будет управляемой, если существует управление , определенное на конечном интервале времени 0
Система называется наблюдаемой, если в формировании вектора выходных координат участвуют все составляющие вектора переменных состояния . Если ни одна из составляющих вектора не влияет на формирование выхода системы , то такая система будет ненаблюдаемой.
Анализ управляемости и наблюдаемости выполняется с помощью матриц управляемости и наблюдаемости или с помощью грамианов управляемости и наблюдаемости .
Сформируем на основе матриц , , две вспомогательные матрицы
R = [ , , ..., n -1 ], D = [ , ,…, n -1 ]
Mатрицы R и D называются соответственно матрицей управляемости и матрицей наблюдаемости системы. В пакете MATLAB их можно построить с помощью команд ctrb и obsv .
Для того чтобы система (3.2) была управляемой, необходимо и
достаточно, чтобы матрица управляемости имела полный ранг rankR = n.
Для того чтобы система (3.2) была наблюдаемой, необходимо и достаточно, чтобы матрица наблюдаемости имела полный ранг rankD=n.
В случае систем с одним входом и одним выходом матрицы R и D квадратные, поэтому для проверки управляемости и наблюдаемости достаточно вычислить определители матриц R и D. Если они не равны нулю, то матрицы имеют полный ранг.
Лекция 4. Оценка функционирования САУ
Оценка статических свойств
В зависимости от процессов, происходящих в САУ различают два режима функционирования работы САУ и их элементов: динамический и статический.
Переходному процессу соответствует динамический режим функционирования САУ и их элементов. Этому режиму в ТАУ уделяется наибольшее время. В динамическом режиме величины, определяющие состояние САУ и их элементов изменяется во времени. Выше были представлены математические модели САУ в динамическом режиме в виде дифференциальных уравнений n -го (2.1) или в виде уравнений состояния (3.2, 3.3).
Наоборот, установившийся процесс в САУ соответствует статическему режиму функционирования, при котором величины, характеризующие состояние САУ не изменяются во времени. Для оценки САУ в статическом (установившемся) режиме используется показатель называемый точностью управления. Этот показатель определяется по статической характеристике САУ.
Рис. 4.1. Статические характеристики статических и астатических систем
Статическая характеристика САУ представляет зависимость установившегося значения выходного параметра – y 0 от входного параметра – u 0 при постоянном возмущении или же зависимость выходного параметра - y 0 в установившемся режиме от возмущения–f при постоянном входном параметре. Уравнения статики САУ имеют вид или . В общем случае уравнения могут быть нелинейным. Рассмотрим статическую характеристику элементов или САУ в целом (рис. 4.1) построенную по второму уравнению. Если установившееся значение ошибки в системе зависит от установившегося значения возмущения f , то система называется статической (Рис.4.1,а), а если не зависит - то астатической (Рис.4.1,б).
Относительная статическая ошибка, или статизм, системы равен
Также, статизм можно характеризовать коэффициентом статизма , равным тангенсу угла наклона статической характеристики (Рис. 3.1, а).
Эффективность статического регулирования САУ в установившемся режиме оценивают по так называемой степени точности управления, равной отношению абсолютной статической ошибки неавтоматизированного объекта управления (без регулятора) к абсолютной статической ошибке автоматической системы.
В некоторых случаях статическая ошибка нежелательна, тогда переходят к астатическому регулированию или вводят компенсирующие воздействия на возмущения.
Изучите теоретический материал по учебной литературе: ; и ответьте на следующие вопросы:
1. Какие переменные в электрической цепи обычно принимают за переменные состояния?
2. Сколько систем уравнений составляют при решении задачи методом переменных состояния?
3. Какие зависимости устанавливаются в первой и во второй системах уравнений при решении задачи методом переменных состояния?
4. Какая из двух систем является системой дифференциальных уравнений, алгебраических?
5. Какие способы используются для получения уравнений состояния и уравнений выходных параметров?
При расчете переходного процесса методом переменных состояния рекомендуется следующий порядок:
1. Выбрать переменные состояния. В предложенных для расчета схемах это напряжения на емкостных элементах и токи в индуктивных катушках .
2. Составить систему дифференциальных уравнений для первых производных от переменных состояния.
Для этого описать послекоммутационную схему с помощью законов Кирхгофа и решить ее относительно первых производных от переменных состояния и в зависимости от переменных , и источников э.д.с. (в предлагаемых схемах источник э.д.с. – единственный).
В матричной форме эта система дифференциальных уравнений 1-го порядка будет иметь вид:
, (8.1)
где – столбец производных , ;
Х – вектор - столбец переменных состояния.
В цепях второго порядка:
– квадратная матрица порядка n , определяемая топологией электрической цепи и параметрами ее элементов. В цепях второго порядка эта матрица имеет порядок 2´2.
Матрица – прямоугольная матрица порядка , где n – порядок цепи.
Матрица – столбец – определяется источниками э.д.с. и источниками токов схемы и называется вектором входных величин .
3. Составить систему алгебраических уравнений для искомых переменных, которые называются выходными . Это токи в любых ветвях схемы (кроме тока ) и напряжения на любых элементах схемы (кроме напряжения ). Полученные алгебраические уравнения устанавливают связи между выходными переменными, с одной стороны, и переменными состояния и источниками напряжения и тока схемы – с другой. В матричной форме эта система алгебраических уравнений имеет вид
,
где – вектор выходных величин;
– матрицы, определяемые топологией электрической цепи, параметрами ее элементов и количеством искомых переменных.