Пределы функций. Примеры решений

В этой главе изучается операция предельного перехода - основная операция математического анализа. Сначала рассмотрим предел функции натурального аргумента, поскольку все основные результаты теории пределов отчетливо видны в этой простой ситуации. Затем рассмотрим предел в точке функции действительной переменной.

2.1 Предел последовательности

2.1.1 Определение и примеры

Определение 2.1. Функцияf: N → X , областью определения которой является множество натуральных чисел, называется последовательностью.

Значения f(n), n N, называются членами последовательности. Их принято обозначать символом элемента того множества, в которое происходит отображение, снабжая символ соответствующим индексом (аргументом функции f): xn = f(n). Элемент xn называется n-м членом последовательности. В связи с этим последовательность часто обозначают символом {xn } или {xn }+ n=1 ∞ , а также записывают в виде x1 , x2 , . . . , xn , . . . .

В дальнейшем в этой главе будем рассматривать только последовательность f: N → R действительных чисел.

Определение 2.2. Интервал, содержащий точкуa R, называют окрестностью этой точки. Интервал(a − δ, a + δ) ,δ > 0 , называют δ -окрестностью точкиa и обозначаютU a (δ) илиV a (δ) (часто пишут короче:U a илиV a ).

Определение 2.3. Числоa R называют пределом числовой последовательности{x n } , если для любой окрестности точкиa существует номерN N такой, что все элементыx n последовательности, номера которых большеN, содержатся вU a . При этом пишут

n lim→∞ xn = aили lim xn = aили xn → aпри n → ∞.

В логической символике определение 2.3 имеет вид:

a R. a = lim xn Ua N = N(Ua ) N: n > N xn Ua .

Поскольку Ua (ε) = (a − ε, a + ε) = {x R: |x − a| < ε}, то часто употребляют следующую равносильную формулировку определения2.3

Определение 2.4. Числоa называют пределом числовой последовательности{x n } , если для любого положительного числаε найдется номерN = N(ε) такой, что все члены последовательности с номерамиn > N удовлетворяют неравенству|x n − a| < ε .

Соответственно, в логической символике это определение имеет вид: a R, a = lim xn ε > 0 N = N(ε) N: n > N |xn − a| < ε

Замечание. Первые члены последовательности не влияют на существование и величину предела в случае его существования.

Иногда полезна следующая геометрическая интерпретация определения 2.3 предела последовательности:

Число a называется пределом последовательности{x n } , если вне любой окрестности точкиa находится не более конечного числа членов последовательности{x n } .

Ясно, что если вне некоторой окрестности точки a находится бесконечное число членов {xn }, то a не является пределом {xn }.

Рассмотрим несколько примеров.

Пример 2.1. Если {xn } : xn = c, то lim xn = c, так как все члены последовательности, начиная с первого, принадлежат любой окрестности

Поскольку q > 1, то q = 1 + α, где α > 0. Поэтому n > 1 по формуле бинома Ньютона

qn = 1 + nα +n(n − 1) α2 + · · · + αn > nα.

Итак, ε > 0 N = max{1, } N: n > N |1/qn | < ε.

Пример 2.4. Покажем, что последовательность {xn } : xn = (−1)n , не имеет предела.

Для любого числа a укажем такую окрестность, вне которой расположено бесконечное множество членов данной последовательности. Для этого зафиксируем точку a R и рассмотрим ee единичную окрестность Ua (1) = (a − 1, a + 1). Поскольку x2k = 1, x2k+1 = −1, k N, и хотя бы одно из чисел +1 или −1 не принадлежит Ua (1), то вне Ua (1) находится бесконечное множество членов последовательности {xn }. Следовательно, число a не является её пределом. В силу произвольности числа a заключаем, что @ lim xn .

Определение 2.5. Числовая последовательность, имеющая пределом число, называется сходящейся. Все остальные последовательности называются расходящимися.

В логической символике определение 2.5 имеет вид: {xn } сходится a R: lim xn = a.

дящимися, а последовательность {(−1)n } - расходящейся.

2.1.2 Свойства сходящихся последовательностей

Теорема 2.1. Последовательность не может иметь двух различных пределов.

Пусть числовая последовательность {xn } имеет два различных предела a и b. Для определенности будем считать, что a < b. Положим

ε = b − 2 a . По определению2.4 предела последовательности найдем N1 и

Определение 2.6. Числовая последовательность {x n } называется ограниченной сверху (соответственно, снизу или ограниченной), если множество X = {x n | n N} является ограниченным сверху (снизу или ограниченным). Если X - неограниченное множество, то {x n } называется неограниченной последовательностью.

C учетом определений 2.1 и2.2 имеем:

{xn } ограничена сверху M R: n N xn ≤ M, {xn } ограничена снизу M R: n N xn ≥ M, {xn } ограничена M > 0: n N |xn | ≤ M,

{xn } не ограничена M > 0 n N: |xn | > M.

Теорема 2.2. Сходящаяся последовательность ограничена.

Пусть последовательность {xn } сходится и lim xn = d. Полагая в определении2.4 ε = 1, найдем номер N такой, что |xn − d| < 1, n > N, то есть d − 1 < xn < d + 1, n > N. Введем обозначения:

a = min{x1 , x2 , . . . , xN , d − 1}, b = max{x1 , x2 , . . . , xN , d + 1}.

Тогда a ≤ xn ≤ b, n N.

Замечание. Ограниченность последовательности - необходимое, но недостаточное условие сходимости (см.пример 4) .

Теорема 2.3. Если числовая последовательность {x n } сходится и lim x n = a , то последовательность {|x n |} сходится и lim |x n | = |a|.

Так как a = lim xn , то ε > 0 N = N(ε) N: n > N |xn − a| < ε.

Отсюда следует, что n > N ||xn | − |a|| ≤ |xn − a| < ε.

Замечание 1. Из теоремы2.3 и примера3 следует, что при |q| > 1

lim q n = 0.

Замечание 2. Обратное утверждение к теореме2.3 не имеет места.

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Подобные документы

Определение и этапы доказательства теоремы Штольца, ее теоретическое и практическое значение в прикладной математике, применение. Понятие предела последовательности, характерные примеры вычисления пределов последовательности с подробным разбором решения.

курсовая работа , добавлен 28.02.2010


Члены последовательности и их изображение на числовой оси. Виды последовательностей (ограниченная, возрастающая, убывающая, сходящаяся, расходящаяся), их практические примеры. Определение и геометрический смысл предела числовой последовательности.

презентация , добавлен 21.09.2013


Вычисление математических последовательностей и определение числа, которое называется пределом последовательности. Методы расчетов предела функции. Произведение бесконечно малой функции и ограниченной функции. Определение предела последовательности.

контрольная работа , добавлен 17.12.2010


Определение предела функции в точке. Понятие односторонних пределов. Геометрический смысл предела функции при х, стремящемся в бесконечности. Основные теоремы о пределах. Вычисление пределов и раскрытие неопределенностей. Первый замечательный предел.

презентация , добавлен 14.11.2014


Понятие и история формирования категории "последовательность", ее значение в современной математике. Свойства и аналитическое задание последовательности, роль в развитии других областей знания. Решение задач на вычисление пределов последовательностей.

презентация , добавлен 17.03.2017


Общее понятие числовой последовательности. Предел функции в точке. Бесконечно большая и малая функция. Связь между функцией, ее пределом и бесконечно малой функцией. Признаки существования пределов. Основные теоремы о пределах: краткая характеристика.

презентация , добавлен 25.01.2013


Предел числовой последовательности. Сравнение бесконечно малых величин. Второй замечательный предел. Теорема Коши о сходимости числовой последовательности. Использование бинома Ньютона. Замена сомножителей на эквивалентные им более простые величины.

контрольная работа , добавлен 11.08.2009


Понятие возрастающей числовой последовательности. Формула бинома Ньютона. Число положительных слагаемых. Определение ограниченности последовательности чисел. Предел монотонной и ограниченной последовательностей. Показательный рост или убывание.

Астрономы могут похвастаться очередной значительной находкой. На этот раз они напали на след двух звёздных скоплений, в каждом из которых есть массивные звёзды. Открытие в мгновение перечеркнуло ранее принятый теоретический предел массы космических гигантов. Масса одной из найденных звёзд при рождении превышала массу Солнца в 150 масс и составляла около 300 масс.

Астрономы могут похвастаться очередной существенной находкой. На этот раз они напали на след 2-х звёздных скоплений, в каждом из которых есть массивные звезды. Открытие в мгновение перечеркнуло раньше принятый гипотетический предел многих космических гигантов. Масса одной из найденных кинозвезд при рождении превышала массу Солнца в 150 масс и составляла около 300 масс. Благодаря открытию скопления космических монстров, исследователи смогут вычислить предел многих кинозвезд.
Кинозвезды-великаны были обнаружены в молодых скоплениях NGC 3603 и RMC 136. Исследованиями занимались исследователи из Университета Шеффилда. Группа под руководством проф. астрофизики Пола Кроутера (Paul Crowther) наблюдала за объектами с помощью инфракрасного аппарата 8-метрового телескопа VLT ESO. За исключением этого в наблюдениях были использованы архивные данные телескопа Хаббл.
В звёздном скоплении NGC 3603 случается непрерывный процесс рождения новых кинозвезд. Они образовываются в протяженных газово-пылевых облаках. В отличие от RMC 136 скопление NGC 3603 располагается в системе Млечный путь, на расстоянии от Солнца всего в 22 000 световых лет. II-е звёздное скопление, тоже небезызвестное как R136 располагается на ещё более значительном расстоянии от Солнца-165 000 световых лет (туманность Тарантул, галактика Большое Магелланово Облако). И, соответственно, выходит за пределы нашей Галактики. Объекты там отличаются возрастом, гигантской массой и весьма высокой температурой.
Проводимые раньше исследования указывали, что в скоплениях весьма вероятно присутствие кинозвезд-гигантов. Однако лишь теперь астрономам удалось отыскать объекты в десятки раз ярче и массивнее Солнца. Температура поверхности кинозвезд превышает температуру поверхности Солнца в 7раз (около 40 000 градусов). Модельные расчёты указывают на то, что гипергиганты сформировались и имели первоначальную массу более 150 солнечных масс. Самой огромной оказалась R136a1. Теперь масса светила может достигать 265 солнечных масс. Если её сравнить со Звездой Эта Киля (90-100 масс Солнца), то превосходство R136a1 понятно. Это по праву наиболее большая кинозвезда из всех раньше открытых.
Тоже в звёздном скоплении R136 были обнаружены ещё 3 гигантских светила. Их многих составляют 135 и 194 масс Солнца. Есть вероятность, что 1 из них в скором времени увеличится в два раза. Наподобие того, как в скоплении NGC 3603 увеличились многих 2-х кинозвезд. Великаны входили в двойную систему, при формировании их масса составляла примерно 150 солнечных.
От многих светила зависит сила звёздного ветра. Чем массивнее она, тем сильнее порывы ветра с её поверхности. Это к тому же оказывает влияние на продолжительность существования кинозвезды: из-за постоянного ветра, кинозвезда теряет собственную массу. Так около млн. лет тому назад, при собственном рождении, кинозвезда R136a1 обладала массой около 320 солнечных. Каждые 20 тыс. лет она теряла около 1 массу Солнца. Вот и получается, что с того момента она утратила 1/5 собственной первоначальной многих. Суперзвезда R136a1 уже близка к тому моменту, когда она станет сверхновой. До взрыва гиганту остался примерно 1 миллион лет, а это ещё 1/2 отмеренного срока.
Если сопоставить яркость Солнца и кинозвезды R136a1, то получится следующее. В первую очередь, соотношение яркости возможно сравнить с полной Луной. Во столько раз R136a1 будет ярче Солнца. Если кинозвезды поменять местами, то перемены в Солнечной системе произойдут незамедлительно. Масса гиганта повлияет на продолжительность г. на Земле: он сократится до 3-х недель. Сильное ультрафиолетовое облучение испепелит поверхность Земли и, соответственно, жизнь на нашей планете окажется невозможной.
Сверхмассивные кинозвезды- редкое явление. Они рождаются только в плотных звёздных скоплениях, что замедляет процесс исследований. Вся сложность заключается в том, что обнаружить их посреди крупного числа кинозвезд может лишь инфракрасная камера. Её разрешающая способность обязана быть весьма высокой.
Группа ученых из Университета Шеффилда постаралась оценить максимальную массу кинозвезд в скоплениях NGC 3603 и RMC 136. Тоже они старались подсчитать наиболее крупные кинозвезды. Дело в том, что массу одиночной кинозвезды вычислить почти нереально. Требуется, хотя бы, выяснить её температуру и скорость утраты многих. Нижний предел кинозвезд составляет не менее 80 масс Юпитера. Всё, что менее этого размера- бурые лилипуты. Но еще и верхняя планка звездных масс также есть. В виду последних открытий, учёным пришлось серьезно увеличить массовый предел. Сейчас цифра достигает 300 солнечных масс, а это почти вдвое более прошлого массового значения.
Стало известно, что в звёздном скоплении R136 массу более 150 масс Солнца (на миг рождения) имеют лишь 4 кинозвезды. 1 из них, а именно R136a1, создаёт ветер мощностью в 50 раз более, который, к примеру, исходит от туманности Орион. Это максимально близкая к нашей планете область образования кинозвезд. 4 гиганта серьезно влияют на общую картину скопления. Их излучения- уже 1/2 вклада в сильный звёздный ветер скопления R136. II-ая 1/2 принадлежит остальным 100 000 кинозвезд.
Процесс образования гигантских кинозвезд пока не понятен. Узнать это довольно непросто, ведь исследованиям мешают 2 фактора: недолгий срок существования крупных кинозвезд и мощный ветер, который беспрерывно привносит большое число изменений в массу кинозвезд. Потому учёным трудно до окончания разобраться с такими непростыми объектами как R136a1. Непонятен даже путь их образования. Версия о слиянии кинозвезд в одну к тому же остаётся возможной.
Кинозвезды, имеющие от 8 до 150 масс Солнца, живут недолго и взрываются как сверхновые. После себя они оставляют не только лишь нейронные кинозвезды, но еще и вороные дырки. Находка исследователей из Университета Шеффилда лишь увеличивает шанс на существовании теории о экстремально ярких сверхновых. Кинозвезды массой от 150 до 300 солнечных масс появляются из-за неустойчивости, которую вызывают пары частица-античастица. Кинозвезды-великаны взрываются ещё до коллапса в их ядрах. Особенным считается то, что после взрыва подобных мощных кинозвезд не остаётся ничего. При этом они выбрасывают в космос вещество в виде железа с массой до 10 солнечных масс. Существование кинозвезд-гигантов разрешает проблему максимального значения многих светил. За последнее время взрывоопасные объекты уже были обнаружены. Использованы материалы сайта Гомел-сат.

Пределы доставляют всем студентам, изучающим математику, немало хлопот. Чтобы решить предел, порой приходится применять массу хитростей и выбирать из множества способов решения именно тот, который подойдет для конкретного примера.

В этой статье мы не поможем вам понять пределы своих возможностей или постичь пределы контроля, но постараемся ответить на вопрос: как понять пределы в высшей математике? Понимание приходит с опытом, поэтому заодно приведем несколько подробных примеров решения пределов с пояснениями.

Понятие предела в математике

Первый вопрос: что это вообще за предел и предел чего? Можно говорить о пределах числовых последовательностей и функций. Нас интересует понятие предела функции, так как именно с ними чаще всего сталкиваются студенты. Но сначала - самое общее определение предела:

Допустим, есть некоторая переменная величина. Если эта величина в процессе изменения неограниченно приближается к определенному числу a , то a – предел этой величины.

Для определенной в некотором интервале функции f(x)=y пределом называется такое число A , к которому стремится функция при х , стремящемся к определенной точке а . Точка а принадлежит интервалу, на котором определена функция.

Звучит громоздко, но записывается очень просто:

Lim - от английского limit - предел.

Существует также геометрическое объяснение определения предела, но здесь мы не будем лезть в теорию, так как нас больше интересует практическая, нежели теоретическая сторона вопроса. Когда мы говорим, что х стремится к какому-то значению, это значит, что переменная не принимает значение числа, но бесконечно близко к нему приближается.

Приведем конкретный пример. Задача - найти предел.



Чтобы решить такой пример, подставим значение x=3 в функцию. Получим:



Кстати, если Вас интересуют , читайте отдельную статью на эту тему.

В примерах х может стремиться к любому значению. Это может быть любое число или бесконечность. Вот пример, когда х стремится к бесконечности:



Интуитивно понятно, что чем больше число в знаменателе, тем меньшее значение будет принимать функция. Так, при неограниченном росте х значение 1/х будет уменьшаться и приближаться к нулю.

Как видим, чтобы решить предел, нужно просто подставить в функцию значение, к которому стремиться х . Однако это самый простой случай. Часто нахождение предела не так очевидно. В пределах встречаются неопределенности типа 0/0 или бесконечность/бесконечность . Что делать в таких случаях? Прибегать к хитростям!




Неопределенности в пределах

Неопределенность вида бесконечность/бесконечность

Пусть есть предел:



Если мы попробуем в функцию подставить бесконечность, то получим бесконечность как в числителе, так и в знаменателе. Вообще стоит сказать, что в разрешении таких неопределенностей есть определенный элемент искусства: нужно заметить, как можно преобразовать функцию таким образом, чтобы неопределенность ушла. В нашем случае разделим числитель и знаменатель на х в старшей степени. Что получится?



Из уже рассмотренного выше примера мы знаем, что члены, содержащие в знаменателе х, будут стремиться к нулю. Тогда решение предела:



Для раскрытия неопределенностей типа бесконечность/бесконечность делим числитель и знаменатель на х в высшей степени.




Кстати! Для наших читателей сейчас действует скидка 10% на

Еще один вид неопределенностей: 0/0



Как всегда, подстановка в функцию значения х=-1 дает 0 в числителе и знаменателе. Посмотрите чуть внимательнее и Вы заметите, что в числителе у нас квадратное уравнение. Найдем корни и запишем:



Сократим и получим:



Итак, если Вы сталкиваетесь с неопределенностью типа 0/0 – раскладывайте числитель и знаменатель на множители.

Чтобы Вам было проще решать примеры, приведем таблицу с пределами некоторых функций:



Правило Лопиталя в пределах

Еще один мощный способ, позволяющий устранить неопределенности обоих типов. В чем суть метода?

Если в пределе есть неопределенность, берем производную от числителя и знаменателя до тех пор, пока неопределенность не исчезнет.

Наглядно правило Лопиталя выглядит так:



Важный момент : предел, в котором вместо числителя и знаменателя стоят производные от числителя и знаменателя, должен существовать.

А теперь – реальный пример:



Налицо типичная неопределенность 0/0 . Возьмем производные от числителя и знаменателя:



Вуаля, неопределенность устранена быстро и элегантно.




Надеемся, что Вы сможете с пользой применить эту информацию на практике и найти ответ на вопрос "как решать пределы в высшей математике". Если Вам нужно вычислить предел последовательности или предел функции в точке, а времени на эту работу нет от слова «совсем», обратитесь к за быстрым и подробным решением.

Приводятся формулировки основных теорем и свойств предела функции. Даны определения конечных и бесконечных пределов в конечных точках и на бесконечности (двусторонних и односторонних) по Коши и Гейне. Рассмотрены арифметические свойства; теоремы, связанные с неравенствами; критерий сходимости Коши; предел сложной функции; свойства бесконечно малых, бесконечно больших и монотонных функций. Дано определение функции.

Определение функции

Функцией y = f(x) называется закон (правило), согласно которому, каждому элементу x множества X ставится в соответствие один и только один элемент y множества Y .

Элемент x ∈ X называют аргументом функции или независимой переменной .
Элемент y ∈ Y называют значением функции или зависимой переменной .

Множество X называется областью определения функции .
Множество элементов y ∈ Y , которые имеют прообразы в множестве X , называется областью или множеством значений функции .

Действительная функция называется ограниченной сверху (снизу) , если существует такое число M , что для всех выполняется неравенство:
.
Числовая функция называется ограниченной , если существует такое число M , что для всех :
.

Верхней гранью или точной верхней границей действительной функции называют наименьшее из чисел, ограничивающее область ее значений сверху. То есть это такое число s , для которого для всех и для любого , найдется такой аргумент , значение функции от которого превосходит s′ : .
Верхняя грань функции может обозначаться так:
.

Соответственно нижней гранью или точной нижней границей действительной функции называют наибольшее из чисел, ограничивающее область ее значений снизу. То есть это такое число i , для которого для всех и для любого , найдется такой аргумент , значение функции от которого меньше чем i′ : .
Нижняя грань функции может обозначаться так:
.

Определение предела функции

Определение предела функции по Коши

Конечные пределы функции в конечных точках

Пусть функция определена в некоторой окрестности конечной точки за исключением, может быть, самой точки . в точке , если для любого существует такое , зависящее от , что для всех x , для которых , выполняется неравенство
.
Предел функции обозначается так:
.
Или при .


С помощью логических символов существования и всеобщности определение предела функции можно записать следующим образом:
.

Односторонние пределы.
Левый предел в точке (левосторонний предел):
.
Правый предел в точке (правосторонний предел):
.
Пределы слева и справа часто обозначают так:
; .

Конечные пределы функции в бесконечно удаленных точках

Аналогичным образом определяются пределы в бесконечно удаленных точках.
.
.
.
Их часто обозначают так:
; ; .

Использование понятия окрестности точки

Если ввести понятие проколотой окрестности точки , то можно дать единое определение конечного предела функции в конечных и бесконечно удаленных точках:
.
Здесь для конечных точек
; ;
.
Любые окрестности бесконечно удаленных точек являются проколотыми:
; ; .

Бесконечные пределы функции

Определение
Пусть функция определена в некоторой проколотой окрестности точки (конечной или бесконечно удаленной). f(x) при x → x 0 равен бесконечности , если для любого, сколь угодно большого числа M > 0 , существует такое число δ M > 0 , зависящее от M , что для всех x , принадлежащих проколотой δ M - окрестности точки : , выполняется неравенство:
.
Бесконечный предел обозначают так:
.
Или при .

С помощью логических символов существования и всеобщности определение бесконечного предела функции можно записать так:
.

Также можно ввести определения бесконечных пределов определенных знаков, равных и :
.
.

Универсальное определение предела функции

Используя понятие окрестности точки, можно дать универсальное определение конечного и бесконечно предела функции, применимое как для конечных (двусторонних и односторонних), так и для бесконечно удаленных точек:
.

Определение предела функции по Гейне

Пусть функция определена на некотором множестве X : .
Число a называется пределом функции в точке :
,
если для любой последовательности , сходящейся к x 0 :
,
элементы которой принадлежат множеству X : ,
.

Запишем это определение с помощью логических символов существования и всеобщности:
.

Если в качестве множества X взять левостороннюю окрестность точки x 0 , то получим определение левого предела. Если правостороннюю - то получим определение правого предела. Если в качестве множества X взять окрестность бесконечно удаленной точки, то получим определение предела функции на бесконечности.

Теорема
Определения предела функции по Коши и по Гейне эквивалентны.
Доказательство

Свойства и теоремы предела функции

Далее мы считаем, что рассматриваемые функции определены в соответствующей окрестности точки , которая является конечным числом или одним из символов: . Также может быть точкой одностороннего предела, то есть иметь вид или . Окрестность является двусторонней для двустороннего предела и односторонней для одностороннего.

Основные свойства

Если значения функции f(x) изменить (или сделать неопределенными) в конечном числе точек x 1 , x 2 , x 3 , ... x n , то это изменение никак не повлияет на существование и величину предела функции в произвольной точке x 0 .

Если существует конечный предел , то существует такая проколотая окрестность точки x 0 , на которой функция f(x) ограничена:
.

Пусть функция имеет в точке x 0 конечный предел, отличный от нуля:
.
Тогда, для любого числа c из интервала , существует такая проколотая окрестность точки x 0 , что для ,
, если ;
, если .

Если, на некоторой проколотой окрестности точки , - постоянная, то .

Если существуют конечные пределы и и на некоторой проколотой окрестности точки x 0
,
то .

Если , и на некоторой окрестности точки
,
то .
В частности, если на некоторой окрестности точки
,
то если , то и ;
если , то и .

Если на некоторой проколотой окрестности точки x 0 :
,
и существуют конечные (или бесконечные определенного знака) равные пределы:
, то
.

Доказательства основных свойств приведены на странице
«Основные свойства пределов функции ».

Арифметические свойства предела функции

Пусть функции и определены в некоторой проколотой окрестности точки . И пусть существуют конечные пределы:
и .
И пусть C - постоянная, то есть заданное число. Тогда
;
;
;
, если .

Если , то .

Доказательства арифметических свойств приведены на странице
«Арифметические свойства пределов функции ».

Критерий Коши существования предела функции

Теорема
Для того, чтобы функция , определенная на некоторой проколотой окрестности конечной или бесконечно удаленной точки x 0 , имела в этой точке конечный предел, необходимо и достаточно, чтобы для любого ε > 0 существовала такая проколотая окрестность точки x 0 , что для любых точек и из этой окрестности, выполнялось неравенство:
.

Предел сложной функции

Теорема о пределе сложной функции
Пусть функция имеет предел и отображает проколотую окрестность точки на проколотую окрестность точки . Пусть функция определена на этой окрестности и имеет на ней предел .
Здесь - конечные или бесконечно удаленные точки: . Окрестности и соответствующие им пределы могут быть как двусторонние, так и односторонние.
Тогда существует предел сложной функции и он равен :
.

Теорема о пределе сложной функции применяется в том случае, когда функция не определена в точке или имеет значение, отличное от предельного . Для применения этой теоремы, должна существовать проколотая окрестность точки , на которой множество значений функции не содержит точку :
.

Если функция непрерывна в точке , то знак предела можно применять к аргументу непрерывной функции:
.
Далее приводится теорема, соответствующая этому случаю.

Теорема о пределе непрерывной функции от функции
Пусть существует предел функции g(t) при t → t 0 , и он равен x 0 :
.
Здесь точка t 0 может быть конечной или бесконечно удаленной: .
И пусть функция f(x) непрерывна в точке x 0 .
Тогда существует предел сложной функции f(g(t)) , и он равен f(x 0) :
.

Доказательства теорем приведены на странице
«Предел и непрерывность сложной функции ».

Бесконечно малые и бесконечно большие функции

Бесконечно малые функции

Определение
Функция называется бесконечно малой при , если
.

Сумма, разность и произведение конечного числа бесконечно малых функций при является бесконечно малой функцией при .

Произведение функции, ограниченной на некоторой проколотой окрестности точки , на бесконечно малую при является бесконечно малой функцией при .

Для того, чтобы функция имела конечный предел , необходимо и достаточно, чтобы
,
где - бесконечно малая функция при .


«Свойства бесконечно малых функций ».

Бесконечно большие функции

Определение
Функция называется бесконечно большой при , если
.

Сумма или разность ограниченной функции, на некоторой проколотой окрестности точки , и бесконечно большой функции при является бесконечно большой функцией при .

Если функция является бесконечно большой при , а функция - ограничена, на некоторой проколотой окрестности точки , то
.

Если функция , на некоторой проколотой окрестности точки , удовлетворяет неравенству:
,
а функция является бесконечно малой при :
, и (на некоторой проколотой окрестности точки ), то
.

Доказательства свойств изложены в разделе
«Свойства бесконечно больших функций ».

Связь между бесконечно большими и бесконечно малыми функциями

Из двух предыдущих свойств вытекает связь между бесконечно большими и бесконечно малыми функциями.

Если функция являются бесконечно большой при , то функция является бесконечно малой при .

Если функция являются бесконечно малой при , и , то функция является бесконечно большой при .

Связь между бесконечно малой и бесконечно большой функцией можно выразить символическим образом:
, .

Если бесконечно малая функция имеет определенный знак при , то есть положительна (или отрицательна) на некоторой проколотой окрестности точки , то этот факт можно выразить так:
.
Точно также если бесконечно большая функция имеет определенный знак при , то пишут:
.

Тогда символическую связь между бесконечно малыми и бесконечно большими функциями можно дополнить следующими соотношениями:
, ,
, .

Дополнительные формулы, связывающие символы бесконечности, можно найти на странице
«Бесконечно удаленные точки и их свойства ».

Пределы монотонных функций

Определение
Функция , определенная на некотором множестве действительных чисел X называется строго возрастающей , если для всех таких что выполняется неравенство:
.
Соответственно, для строго убывающей функции выполняется неравенство:
.
Для неубывающей :
.
Для невозрастающей :
.

Отсюда следует, что строго возрастающая функция также является неубывающей. Строго убывающая функция также является невозрастающей.

Функция называется монотонной , если она неубывающая или невозрастающая.

Теорема
Пусть функция не убывает на интервале , где .
Если она ограничена сверху числом M : , то существует конечный предел . Если не ограничена сверху, то .
Если ограничена снизу числом m : , то существует конечный предел . Если не ограничена снизу, то .

Если точки a и b являются бесконечно удаленными, то в выражениях под знаками пределов подразумевается, что .
Эту теорему можно сформулировать более компактно.

Пусть функция не убывает на интервале , где . Тогда существуют односторонние пределы в точках a и b :
;
.

Аналогичная теорема для невозрастающей функции.

Пусть функция не возрастает на интервале , где . Тогда существуют односторонние пределы:
;
.

Доказательство теоремы изложено на странице
«Пределы монотонных функций ».

Использованная литература:
Л.Д. Кудрявцев. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 2003.
С.М. Никольский. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 1983.